能不能由 Snell 定律逆推 Fermat 原理 ?

前幾天我有我想到一個光學問題.  問題是這樣的:

在一般的教科書裡, Snell 定律可以由 Fermat原理導出,也可以考慮一個入射平面電磁波, 根據 Maxwell 方程以及邊界條件而導出.

我的疑問是: 能不能倒過來, 由 Snell 定律推導出 Fermat 原理 ? 如果能, 怎麼推 ?

經過了幾天的探索, 我相信我已找到了初步的答案.  我把我的推導寫在這裡.

 

 

一張值得紀念的照片以及一段往事

今天找到 2003 年底前的一張照片. 當時負折射大師 John Pendry 到台灣參加 conference 後, 受台大物理系蔡定平教授邀請到台大再給一場演講. 我與葉真教授 (我做 postdoc 時的老闆), 同事陳啟昌教授, 在清大讀博士班時的同學蔡雅芝教授都去聽了. 拍照時間應該是當年 10 月或 11 月, 地點應該是在台大物理新館.

由左至右: 陳啟昌, 蔡雅芝, 蔡定平, 皮皮, Pendry, 謝文峰, 葉真.

就在這一張照片拍照後不久, 我寄了一篇我寫的吐槽 paper 給因提出 『完美透鏡』 概念而大大出名的 Pendry. 我告訴他我認為他的 『完美透鏡』 理論是有毛病的. 根據我的研究, 『完美』 透鏡在數學上無解, 但是 『非完美』 的負折射平板透鏡的確有突破繞射極限的能力. 其實我不是第一個吐槽者, 但我的吐槽理由應該是最簡單的.

他回應我的第一個 email 寫了將近 1000 字, 其中他認為我反對他的理由是錯的. 由於我自認思考得非常深入, 因此我與他沒有共識. 我們後來又寫了幾封 email 後就停止了通信.

這件事的後續發展是我的那篇 paper 沒有成功發表在任何一個 Journal 期刊. 最後我只把它放在 ArXiv 上, 成為一個預印本(Preprint). 我分析我發表失敗的原因主要有兩個. 第一, 我的英文不夠好, 而審稿人又幾乎一面倒的相信 Pendr⋯⋯y 的結論, 我感覺我很難清楚無誤的解釋我的想法去說服審稿人, 索性就放棄了. 第二, 我強調的是一個數學極限的不可能性(in principle), 但大家關心的只是負折射平板透鏡是否具有超越繞射極限的能力(in practice) [對於 "非完美" 的負折射透鏡, 我並不反對它有這個能力]. 大家對 『in principle』 的問題並不 care, 所以我不太有機會扭轉大家的看法.

Anyway, 從後來的許多有關 Metamaterial 的研究發展看來, Pendry 教授是一個偉大的研究者, 更是一個趨勢引領者. 雖然他的想法不見得都是對的, 但整體而言, 他對物理做出了很大的貢獻. 這些貢獻是我輩無法迄及的.

另一方面, 如果是現在的我, 我才不管我的英文好不好, 只要我覺得我的想法有發表的價值, 我一定要讓它 『見天日』.

願 2012 的我可以火力全開.

幾個新感想

一兩年前我巧遇一位從前的大學同學 (大一時期的同學，平常沒聯絡的)。我跟他在校園裡的松果咖啡聊天。他問我做什麼研究？當我告訴他我做的研究無立即性的應用價值時，他覺得大惑不解。他認為我應該去研究太陽能光電，那樣我將會做出更大的貢獻。

 

我對他說：「我為什麼應該研究太陽能光電？在我看來別人可以做得比我好。而且老實說，我對研究那些東西並沒有什麼熱情。我不可能在沒有熱情又沒有能力的情況下去研究那些東西。」

 

生活的周遭總是有許多人基於一番好意，而告訴你你應該做什麼。我不能說我沒受過影響，但我發現那些建議並不一定適合。其實最可能瞭解自己的，應該還是自己。要盡可能基於自己對自己的深刻瞭解做決定，而不是讓別人幫你決定。這麼做雖然可能會遇到一些阻力，但「自做自受」的感覺最實在。

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搞清楚自己的興趣是很重要的，但是要搞清楚自己的興趣，不能只靠猜想或人云亦云，而是要努力去嘗試。對興趣清楚了，人生的步伐才能穩健的，相干性的(coherently) 疊加起來。

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一個朝確定方向行走的粒子所移動的距離是與時間的一次方成正比，而一個隨機漫游的粒子的平均移動距離只正比於時間的1/2次方，而且不知會走到哪一個方向。

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講得現實一點，我覺得念書是最廉價的籌碼。如果你不是那麼特別，至少你還可以靠學位。

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人必須瞭解自己適合做什麼與不適合做什麼。瞭解後者可能比瞭解前者更重要。當你很清楚的瞭解後者，你就不會花大量時間去做更適合別人而不是己的事。當你能找到自己的方向，你才能活出與眾不同的自己。

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參加親師會的父母親總是太急切的想要知道孩子的未來出路是否得到了保證，而老師們也總是苦口婆心的告知父母選這個系準沒錯。

 

在我看來真正的重點根本就在子孩自己身上。他是否真的有興趣？他是否願意努力？他是否能在大學幾年內想清楚自己未來要走的方向？是否對那個方向有花時間與精力去瞭解而不只是空想？是否已經做了一些初步的準備？是否瞭解自己的優勢與劣勢？所有這些都要靠當事人自己去釐清。

 

那一個科系出路好？我認為每一個科系出路都好，如果你肯努力去做每一件能讓出路更好的準備。

物理學與拼圖

今天想到一個比喻. 物理學家是一些玩拼圖的人, 而那些重要的物理理論 (例如相對論與量子力學) 是一些關於如何將拼圖小塊拼起來的重要指導原則. 目前物理學家已拼出了相當大的幾大塊, 但要將這幾大塊再拼成更大塊時, 不是缺了一些中間的連結部份, 就是實在 『卡很大』. 說不定指導原則並不完全正確, 但我們已走了好遠, 還為了能拼出大塊拼圖而沾沾自喜.

究竟有沒有可能必須把已拼好的大塊拼圖拆掉重拼 ? 我不知道. 不過, 如果這真的發生了, 倒也不失為一件好玩的事. 哈哈 !

基於量子力學的兩個思考意見

 

基於量子力學的兩個思考意見

 

I.為何不用薛丁格方程計算行星繞日運動 ？

 

學生時代，我曾經問過教量子物理的教授這個問題。他給我的答覆是波爾的「對應原理」，對此我並不滿意。

 

如果按照薛丁格貓的邏輯，我是否可以說，因為我們一直觀測這這些行星，所以他們就「乖乖的」待在它們的古典力學軌道上呢 ？如果我把太陽系裝進一個夠大的盒子裏，盒子外的外星人會如何詮釋這些行星的運動呢 ？

 

我認為行星既沒有處在位置本徵態，也沒有處在能量或動量本徵態，反而比較像是處在 『相干態』 (coherent state)。我們對行星的觀測並沒有精確到量子尺度，所以這些 『經典軌道』 實際上是 『軌域』，包含了無數的量子狀態 (例如行星上的一顆石頭移動了一點點，或是行星的軌道變動了一點點)。當行星在這些量子狀態之間躍遷時，我們根本不會察覺。

 

我對薛丁格貓也有類似的想法：「活」與「死」並不是兩個狀態，而是無數個狀態。當貓體的幾顆原子更換了位置，它就處於不同的量子態，但在巨觀尺度，我們跟本無法區分這些不同的量子態。我們只能粗略的分出古典的「死」態與「活」態，或是最多再細分成「死得好」、「死得不好」、「活得漂亮」等等子態。

 

II. 平行宇宙？

 

根據量子力學的術語，兩個不同的狀態是希爾伯特空間的兩個非平行的向量，所以 『平行宇宙』 似乎不應該叫 『平行』 宇宙。有許多 『平行宇宙』 其實是正交宇宙 (垂直宇宙)。